Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn

     

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức và kỹ năng mà các em học ở ngay chương 1 đại số lớp 9, phần bài bác tập về căn thức cũng thường xuyên mở ra trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn


Có các dạng bài tập về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính cực hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong nội dung bài viết này bọn họ tập trung khám phá cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một trong những bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ cách 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt bao gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- do (1 - x)2 ≥ 0 ∀x yêu cầu pt khẳng định với số đông giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc ấy bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa điều kiện này, phải ta KHÔNG dấn nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta phải kiểm tra biểu thức f(x).

+) giả dụ f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 cần ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x buộc phải biểu thức xác định với phần đa giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình tất cả 2 nghiệm x = -1 cùng x = 5.

2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*

* phương thức giải:

- bước 1: Viết đk của phương trình: 

*

- bước 2: thừa nhận dạng từng loại tương xứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: ví như f(x) tất cả dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem về phương trình trị tuyệt vời nhất để giải.

 ¤ các loại 2: giả dụ f(x) = Ax ± B cùng g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 4: nếu f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) với g(x) thành nhân tử, ví như chúng nhân ái tử bình thường thì đặt nhân tử chung mang về phương trình tích.

- cách 3: đánh giá nghiệm tìm kiếm được có vừa lòng điều khiếu nại không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Tái Hợp Sau 12 Năm, Minh Hằng, Lương Mạnh Hải Đóng Yêu Đơn Phương Minh Hằng

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình nhấn nghiệm này.

- Phương trình gồm nghiệm x = 2.

* lấy ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế đề xuất là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- soát sổ x = -10 có vừa lòng điều kiện không bằng cách thay quý hiếm này vào các biểu thức đk thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện công việc sau:

- bước 1: Nếu f(x) và h(x) tất cả chứa căn thì bắt buộc có điều kiện biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị tốt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét vết trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất (khử trị hay đối) nhằm giải phương trình.

* ví dụ như 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- khía cạnh khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp nhằm phá vệt trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- dìm thấy: 

*

*

- Đến trên đây xét các trường hợp giải tựa như ví dụ 1 sống trên.

4. Phương pháp giải một trong những phương trình chứa căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ để giải phương trình đựng dấu căn.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta bao gồm pt (*) trở thành:

 

*

- cả 2 nghiệm t đông đảo thỏa điều kiện nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em sẽ học sống nội dung bài bác chương sau).

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi đó pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) gồm dạng sinh hoạt mục 2) nhiều loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- cùng với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 yêu cầu ta có:

*

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu đk thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- đánh giá thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới lốt căn (lớn rộng hoặc nhỏ dại hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng cùng với phương trình cất căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT có thể cho tức thì dạng này hoặc bao gồm thể tách một hệ số nào đó để có 2; 2 hay 2;